Магический квадрат — виды, правила и примеры решения

Таблица квадратов натуральных чисел 100 до 200

1012 = 10 201 1022 = 10 404 1032 = 10 609 1042 = 10 816 1052 = 11 025 1062 = 11 236 1072 = 11 449 1082 = 11 664 1092 = 11 881 1102 = 12 100	1112 = 12 321 1122 = 12 544 1132 = 12 769 1142 = 12 996 1152 = 13 225 1162 = 13 456 1172 = 13 689 1182 = 13 924 1192 = 14 161 1202 = 14 400	1212 = 14 641 1222 = 14 884 1232 = 15 129 1242 = 15 376 1252 = 15 625 1262 = 15 876 1272 = 16 129 1282 = 16 384 1292 = 16 641 1302 = 16 900	1312 = 17 161 1322 = 17 424 1332 = 17 689 1342 = 17 956 1352 = 18 225 1362 = 18 496 1372 = 18 769 1382 = 19 044 1392 = 19 321 1402 = 19 600	1412 = 19 881 1422 = 20 164 1432 = 20 449 1442 = 20 736 1452 = 21 025 1462 = 21 316 1472 = 21 609 1482 = 21 904 1492 = 22 201 1502 = 22 500
1512 = 22 801 1522 = 23 104 1532 = 23 409 1542 = 23 716 1552 = 24 025 1562 = 24 336 1572 = 24 649 1582 = 24 964 1592 = 25 281 1602 = 25 600	1612 = 25 921 1622 = 26 244 1632 = 26 569 1642 = 26 896 1652 = 27 225 1662 = 27 556 1672 = 27 889 1682 = 28 224 1692 = 28 561 1702 = 28 900	1712 = 29 241 1722 = 29 584 1732 = 29 929 1742 = 30 276 1752 = 30 625 1762 = 30 976 1772 = 31 329 1782 = 31 684 1792 = 32 041 1802 = 32 400	1812 = 32 761 1822 = 33 124 1832 = 33 489 1842 = 33 856 1852 = 34 225 1862 = 34 596 1872 = 34 969 1882 = 35 344 1892 = 35 721 1902 = 36 100	1912 = 36 481 1922 = 36 864 1932 = 37 249 1942 = 37 636 1952 = 38 025 1962 = 38 416 1972 = 38 809 1982 = 39 204 1992 = 39 601 2002 = 40 000

Что случится, если это произойдёт?

Данный вопрос подразумевает поиск плюсов от получения желаемого. Под словом «это» следует иметь в виду реализацию принимаемого решения

Первый вопрос является наиболее очевидным и по этой причине очень важно находить как можно больше ответов, т.е. не останавливаться на том, что первым приходит на ум

Ответы на этот вопрос будут служить вам мотивацией к принятию решения.

Что случится, если я поменяю род деятельности?

• Если я поменяю род деятельности, я сделаю первый шаг к своей мечте – заниматься тем, чем мне действительно нравится.
• Если я поменяю род деятельности, я смогу перестать работать «на дядю» и сам контролировать и свою работу, и свой доход.
• Если я поменяю род деятельности, это скажет о моей смелости, и я стану больше уважать самого себя.
• Если я поменяю род деятельности, я смогу доказать тем, кто меня окружает, что серьёзно намерен изменить свою жизнь.
• Если я поменяю род деятельности, это станет моей мотивацией к получению новых знаний, овладению новыми навыками.
• Если я поменяю род деятельности, смогу скорее начать заниматься чем-то новым.
• Если я поменяю род деятельности, я перестану сомневаться насчёт правильности своего выбора.

Как читать формулы сокращенного умножения

Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:

1. Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.
2. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
3. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
4. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.
5. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго на неполный квадрат их суммы.
6. Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
7. Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Свойства степеней:

Произведение степеней. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

am · an = am + n

62 · 64 = 62+4 = 66

Частное степеней. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

am / an = am – n

64 / 62 = 64 – 2 = 62

Возведение степени в степень. При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

(an) m = an · m

(64)6 = 64 · 6 = 624

Степень произведения. При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

(a · b)n = an · bn

(6 · 6)3 = 63 · 63

Степень частного (дроби). Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй. При возведении в степень дроби нужно возвести в степень и числитель, и знаменатель.

(a / b)n = an / bn

(6 / 6)3 = 63 / 63

Примечание:  Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Найти что-нибудь еще?

карта сайта

Коэффициент востребованности
535

Конвертация других единиц измерения площади

Иностранные единицы измерения тоже обозначают квадратный метр. Только для этого их следует правильно конвертировать. Сделать это можно при помощи простого математического расчета:

• Квадратные футы – умножение на 0,093 (точный курс – 0,093903). Замеряют длину и ширину в футах, перемножают их. Получают квадратный фут. Один фут равен 0,093 квадратным метрам. Полученный результат в квадратных футах умножают на 0,093 и получают квадратный метр. Пример: 13,41 ft х 0,093 = 1,24713 кв. м. Округление – 1,25 кв. м.
• Ярды – умножение на 0,84 (точный курс – 0,83613). Все делают тоже самое что и при переводе из квадратных футов в квадратные метры. Пример: 24,7 yard х 0,84 = 20,748 кв. м. Округление – 20,75 кв. м.
• Акры – умножение на 4050 (точный курс – 4046,9). Повторяем процедуру. Пример: 55,3 acres х 4050 = 224014,77 кв. м. Округление – 224015 кв. м.

Количественно футовые или ярдовые значения предстают всегда большими, чем метровые.

На таблицу ориентируются тогда, когда переводят из одной единицы измерения в другую Источник 3mu.ru

Расчет квадратных метров площади

Для вычислений понадобится сантиметровая лента или рулетка. При помощи них делают замеры сторон геометрической фигуры правильной формы (прямоугольник, квадрат и другие варианты). Затем все перемножают. После полученных результатов сантиметры необходимо перевести в метры.

Алгоритм:

• Взять ленту или рулетку, на полотно которых нанесены деления в такой же системе измерения – сантиметры или метры.
• Измерить длину объекта в двухмерном пространстве – плоскости.
• Измерить ширину объекта. Край измерительного приспособления с нулевым значением располагают под углом 90° по отношению к длине в углу фигуры.
• При невозможности сделать замер за один раз, отмерить часть плоскости до конца рулетки (ленты), поставить карандашом или маркером отметку, начать от нее замер следующего участка. Продолжить до конца всей длины или ширины. Цифры записать и сложить.
• Все полученные значения записать.
• Цифровое значение длины при помощи калькулятора умножают на цифровое значение ширины – получают число, обозначающее площадь.

Пример:

Длина – 3,42 м

Ширина – 2,15 м

3,42 х 2,15 = 7,353

Округляем до двухзначного числа после запятой – 7,35 кв. м

В любой проектной или технической документации указана длина и ширина объектаИсточник vestnikao.ru

Часто результат не представлен в форме целого числа – в нем отражены как метры, так и сантиметры. Поэтому нужно перевести сантиметры в метры. Тогда легче будет перемножать числа. Пример: 3 метра 78 сантиметров. Один сантиметр равен 0,01 метрам. Перевод осуществляется простым приемом – переносом запятой числа «0,01» на 2 цифры назад (влево).

Пример расчета:

78 см = 0,78 м

3 м 78 см = 3 м + 78 см = 3,78 м

Если взять метровую ленту или рулетку, конечно же, считать будет проще – не понадобится переводить полученные числовые значения в метры. Замеры длины, ширины осуществляют от одной точки (угла) до другой, противоположной точки (угла). Если получается не целое число, то считают не только метры, но и сантиметры. Пример: 3,55 м – 3 метра и 55 сантиметра.

Длина или ширина измеряется строго от одного угла к противоположном по стенеИсточник mypresentation.ru

Когда числа получаются меньше одного метра в миллиметрах, тогда делают округление к ближайшему сантиметру. Пример: 2 метра 4 сантиметра и 3 миллиметра записывают как 2,4 м. Но при установке мебельного каркаса важна абсолютная точность. Поэтому здесь выверяют все до миллиметров. Особенно это касается встраиваемых в стеновые ниши шкафов.

Что случится, если это НЕ произойдёт?

Данный вопрос подразумевает поиск плюсов от неполучения желаемого. Другими словами, ответы на второй вопрос покажут вам, что случится, если вы откажетесь от реализации принимаемого решения, и всё останется так же, как и было раньше. Отвечая, записывайте все преимущества настоящего положения дел, которые вы не хотели бы потерять.

Что случится, если я не поменяю род деятельности?

• Если я не поменяю род деятельности, мне не нужно будет отказываться от привычного образа жизни.
• Если я не поменяю род деятельности, я не буду переживать по поводу того, что придётся осваивать новые знания и учиться новым вещам, ведь это может не получиться.
• Если я не поменяю род деятельности, я смогу спокойно отдыхать в свои выходные дни.
• Если я не поменяю род деятельности, мне не нужно будет ни перед кем объясняться или оправдываться.
• Если я не поменяю род деятельности, я смогу подумать об этом в будущем. Возможно, действительно стоит повременить.
• Если я не поменяю род деятельности, я смогу предаваться грёзам о том, как занимаюсь тем, что мне действительно нравится.
• Если я не поменяю род деятельности, я докажу окружающим меня людям, что меня устраивает текущее положение дел.

Чего НЕ случится, если это НЕ произойдёт?

Данный вопрос подразумевает поиск минусов от неполучения желаемого. Отвечая на четвёртый вопрос, вы отсекаете оставшиеся «не», мешающие реализации принимаемого решения. На этом этапе рекомендуется отвечать как можно быстрее, опираясь на интуицию.

Чего не случится, если я не поменяю род деятельности?

• Если я не поменяю род деятельности, у меня не появится возможности реализовать свою мечту – зарабатывать, занимаясь тем, что мне действительно нравится.
• Если я не поменяю род деятельности, я не смогу перестать работать «на дядю», а значит, не смогу самостоятельно контролировать свою работу и свой доход.
• Если я не поменяю род деятельности, я не стану больше уважать себя, т.к. покажу страх перед переменами в жизни.
• Если я не поменяю род деятельности, никто (в том числе и я сам) не поверит в серьёзность моих намерений изменить жизнь.
• Если я не поменяю род деятельности, у меня так и не появится мотивации к получению новых знаний и овладению новыми навыками.
• Если я не поменяю род деятельности, я не смогу избавиться от своих сомнений и так и останусь в переживаниях по поводу того, что не принял решения.

На самом деле, применять Квадрат Декарта можно не только к сфере профессиональной деятельности, но и к любой другой области жизни

Но важно раз и навсегда уяснить, что все свои ответы нужно именно записывать, а не отвечать мысленно. Во-первых, вы можете просто запутаться в своих ответах, а во-вторых, подсознание человека работает таким образом, что игнорирует частицу «НЕ», по причине чего велика вероятность допущения ошибок

Поэтому, обязательно используйте листок и ручку, можно даже распечатать Квадрат в большом формате, и отвечать на каждый из вопросов в соответствующем секторе. А сам процесс записи ответов будет как бы конвертировать мысленные доводы и фантазии в логическую буквенную форму, что и окажет вам существенную помощь в принятии решения.

Квадрат Декарта — одна из многочисленных техник, глобально применяемых для управления временем. Больше таких техник мы разбираем на курсе «Лучшие техники тайм-менеджмента». Присоединяйтесь!

Доказательство формул сокращенного умножения

Напомним, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы: a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

Иначе говоря, произведение суммы a и b на их разность равна разности их квадратов: (a — b) * (a + b) = a2 — b2.

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a2 — b2 ≠ (a — b)2. Докажем, что a2 — b2 = (a — b) * (a + b)

Докажем, что a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

Поехали:

1. Используя искусственный метод, прибавим и отнимем одно и тоже a * b.

   + a * b — a * b = 0

   a2 — b2 = a2 — b2 + ab — ab

1. Сгруппируем иначе: a2 — b2 + a * b — a * b = a2 — a * b + a * b — b2
2. Продолжим группировать: a2 — a * b — b2 +a * b = (a2 — a * b) + (a * b — b2)
3. Вынесем общие множители за скобки:

   (a2 — a * b) + (a * b — b2) = a *(a — b) + b *(a — b)

1. Вынесем за скобки (a — b). a * (a — b) + b * (a — b) = (a — b) * (a + b)
2. Результат доказательства: a2 — b2 = (a — b) * (a + b)
3. Для того, чтобы доказать в обратную сторону: (a — b) * (a + b) = a2 — b2, нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a + b) = a * a + a * b — b * a — b * b = a2 — b2.

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

Свойства

• Четыре различных квадрата не могут образовывать арифметическую прогрессию. Арифметические прогрессии из трёх квадратов существуют — например: 1, 25, 49.
• Каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).
• 4900 — единственное число > 1, которое является одновременно квадратным и пирамидальным.
• Суммы пар последовательных треугольных чисел являются квадратными числами.
• Последняя цифра квадрата в десятичной записи может быть равной 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (квадратичные вычеты по модулю 10).
• Квадрат не может оканчиваться нечётным количеством нолей.
• Квадрат либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1. Квадрат либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
• Две последние цифры квадрата в десятичной записи могут принимать значения 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 или 96 (квадратичные вычеты по модулю 100). Зависимость предпоследней цифры квадрата от последней можно представить в виде следующей таблицы:

последняяцифра	предпоследняяцифра
5	2
1, 4, 9	чётная
6	нечётная

В геометрии

Есть несколько основных применений функции квадрата в геометрии.

Название функции квадрата показывает ее важность в определении площади : она проистекает из того факта, что площадь квадрата со сторонами длиной   l равна l 2. Площадь квадратично зависит от размера: площадь формы в n  раз больше, в n 2  раза больше

Это справедливо для площадей в трех измерениях, а также на плоскости: например, площадь поверхности сферы пропорциональна квадрату ее радиуса, что физически проявляется в законе обратных квадратов, описывающем, как сила физического силы, такие как гравитация, зависят от расстояния.

Зональные пластины Френеля имеют кольца с одинаковыми квадратами расстояний до центра.

Функция квадрата связана с расстоянием через теорему Пифагора и ее обобщение, закон параллелограмма . Евклидово расстояние не является гладкой функцией : трехмерный график расстояния от фиксированной точки образует конус с негладкой точкой на вершине конуса. Однако квадрат расстояния (обозначаемый d 2 или r 2 ), график которого имеет параболоид , является гладкой и аналитической функцией .

Скалярное произведение из евклидовой вектора с самим собой, равна квадрату его длины: v ⋅ v = v 2 . Это далее обобщается на квадратичные формы в линейных пространствах через внутреннее произведение . Тензор инерции в механике является примером квадратичной формы. Он демонстрирует квадратичную зависимость момента инерции от размера ( длины ).

Существует бесконечно много пифагоровых троек , наборов из трех натуральных чисел, таких, что сумма квадратов первых двух равна квадрату третьего. Каждая из этих троек дает целые стороны прямоугольного треугольника.

Как пользоваться таблицей квадратов по схеме:

Чтобы возвести число в квадрат, нужно выбрать десятку и единицу числа, которое необходимо возвести во вторую степень, и на их пересечении будет число, которое получается за счет умножения этого числа на себя.

Например: рассмотрим на картинке ниже число 1849. Оно получилось за счет умножения числа 43 на 43 (43 во второй степени), в котором “4”- это десятка, а “3” – единица.

Или другой пример: число 4356 получилось за счет умножения числа 66 на 66 (66 во второй степени), в котором “6” сбоку – это десятка, а “6” сверху – единица.

Таблица квадратов:

Вторую степень называют “квадратом числа”. При этом умножение числа самого на себя происходит один раз (a · a).

Квадратное число в геометрическом представлении может выглядеть, как квадрат. Например, число 9 – можно представить в виде квадрата из 9 точек, где стороны квадрата будут составлять по 3 точки.

Другое использование

Квадраты вездесущи в алгебре, в более общем смысле, почти во всех отраслях математики, а также в физике, где многие единицы определяются с помощью квадратов и обратных квадратов: см. .

Метод наименьших квадратов — стандартный метод, используемый для переопределенных систем .

Возведение в квадрат используется в статистике и теории вероятностей при определении стандартного отклонения набора значений или случайной величины . Отклонение каждого значения  x _i от среднего  значения набора определяется как разность . Эти отклонения возводятся в квадрат, затем для нового набора чисел (каждое из которых положительно) берется среднее значение. Это среднее значение представляет собой дисперсию , а его квадратный корень — стандартное отклонение. В области финансов , то волатильность финансового инструмента представляет собой стандартное отклонение ее значения.
Икс¯{\ displaystyle {\ overline {x}}}Икся-Икс¯{\ displaystyle x_ {i} — {\ overline {x}}}

Чего НЕ случится, если это произойдёт?

Данный вопрос подразумевает поиск минусов от получения желаемого. Проще говоря, ответы на третий вопрос будут представлять собой ту цену, которую вы должны будете заплатить за реализацию принимаемого решения.

Чего не случится, если я поменяю род деятельности?

• Если я поменяю род деятельности, я уже не смогу жить той жизнью, к которой так привык за много лет.
• Если я поменяю род деятельности, я уже не смогу откладывать действия по поиску новых возможностей.
• Если я поменяю род деятельности, я уже не смогу отдыхать в привычные для меня выходные дни.
• Если я поменяю род деятельности, у меня уже не будет достаточного количества времени на бесцельное, но приятное времяпрепровождение.
• Если я поменяю род деятельности, у меня уже не будет возможности общаться с прежними коллегами и ходить на весёлые корпоративы.
• Если я поменяю род деятельности, ко мне уже не будет прежнего отношения окружающих меня людей.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.

Бином Ньютона

Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:

ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два. 

(a₁+a₂+…+a_n)2 = a₁2 + a₂2 + … + a_n-12 + a_n2 + 2 * a₁ * a₂ + 2 * a₁ * a₃ + 2 * a₁ * a₄ + … +

+ 2 * a₁ * a_n-1 + 2 * a₁ * a_n + 2 * a₂ * a₃ + 2 * a₂ * a₄ + … + 2 * a₂ * a_n-1 + 2 * a₂ * a_n +…+

+ 2 * a_n-1 * a_n

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

an − bn = (a − b) * (an-1 + an-2 * b + an-3 * b2 + … + a * bn-2 + bn-1).

Для четных показателей можно записать так:

a2*m − b2*m = (a2 − b2) *(a2*m−2 + a2*m−4 * b2 + a2*m−6 * b4 + … + b2*m−2).

Для нечетных показателей:

a2*m+1 − b2*·m+1 = (a − b) * (a2*m + a2*m−1 * b + a2*m−2 * b2 + … + b2*m).

Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.

Как пользоваться Квадратом Декарта?

Для использования Квадрата Декарта вам понадобится листок бумаги, ручка или карандаш. Как только эти инструменты будут готовы, вы можете приступать к работе с Квадратом, которая подразумевает ответы на четыре основных вопроса. Эти четыре вопроса можно образно представить как четыре пункта наблюдения за проблемой, с которых можно рассмотреть проблему с разных сторон и получить о ней наиболее объективное представление

И ещё: очень важно дать на каждый из четырёх вопросов как можно большее количество ответов, т.к. это позволит рассмотреть максимальное количество особенностей проблемы

Итак, Квадрат Декарта выглядит следующим образом:

Задаём себе последовательно четыре вопроса и отвечаем на них следующим образом:Для наглядного рассмотрения принципа работы Квадрата Декарта давайте возьмём тот же пример с изменением рода деятельности, который мы рассматривали выше.

Таблица квадратов натуральных чисел от 1 до 99

единицыдесятки	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	4	9	16	25	36	49	64	81
1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Таблица квадратов до 1012 = 122 = 432 = 942 = 1652 = 2562 = 3672 = 4982 = 6492 = 81102 = 100	Таблица квадратов до 20112 = 121122 = 144132 = 169142 = 196152 = 225162 = 256172 = 289182 = 324192 = 361202 = 400	Таблица квадратов до 30212 = 441222 = 484232 = 529242 = 576252 = 625262 = 676272 = 729282 = 784292 = 841302 = 900	Таблица квадратов до 40312 = 961322 = 1024332 = 1089342 = 1156352 = 1225362 = 1296372 = 1369382 = 1444392 = 1521402 = 1600	Таблица квадратов до 50412 = 1681422 = 1764432 = 1849442 = 1936452 = 2025462 = 2116472 = 2209482 = 2304492 = 2401502 = 2500
Таблица квадратов до 60512 = 2601522 = 2704532 = 2809542 = 2916552 = 3025562 = 3136572 = 3249582 = 3364592 = 3481602 = 3600	Таблица квадратов до 70612 = 3721622 = 3844632 = 3969642 = 4096652 = 4225662 = 4356672 = 4489682 = 4624692 = 4761702 = 4900	Таблица квадратов до 80712 = 5041722 = 5184732 = 5329742 = 5476752 = 5625762 = 5776772 = 5929782 = 6084792 = 6241802 = 6400	Таблица квадратов до 90812 = 6561822 = 6724832 = 6889842 = 7056852 = 7225862 = 7396872 = 7569882 = 7744892 = 7921902 = 8100	Таблица квадратов до 100912 = 8281922 = 8464932 = 8649942 = 8836952 = 9025962 = 9216972 = 9409982 = 9604992 = 98011002 = 10000

Двойной порядок

Если головоломка имеет порядок двойной чётности, количество окон в каждой горизонтальной строчке или вертикальном столбце должно делиться на 4. Минимальной фигурой с такими свойствами будет таблица 4х4.

Решать магические квадраты двойной чётности следует по тому же алгоритму, что и остальные. Первый шаг при заполнении — вычисление магической константы. Формула применяется та же, что для расчёта других квадратов. Для фигуры со стороной 4 клетки значение константы будет равно 34.

В каждом углу основного поля выделяются промежуточные таблицы. Их размер должен быть равен n/4. Эти области обозначают буквами A, B, C, D, располагая их против хода часовой стрелки. Величина промежуточных фигур зависит от размера исходного квадрата:

1. Если длина стороны составляет 4 ячейки, промежуточные зоны будут иметь по 1 клетке.
2. В таблице 8х8 эти области включают 4 элемента (2х2).
3. В квадрате 12х12 выделяются промежуточные фигуры размером 3х3.

Следующий этап — создание центрального промежуточного квадрата. Величина его стороны должна составлять n/2. Эта фигура не должна накладываться на периферические, но при этом соприкасаться с ними углами.

Далее в квадрат вносят цифры слева направо. Их допускается ставить только в свободные ячейки, которые входят в состав промежуточных областей. Например, при заполнении таблицы 4х4 порядок действий будет таким:

1. В первой сверху строке и первом слева столбце пишется 1. В верхней клетке четвертого столбика — 4.
2. В центр второй горизонтальной строчки ставятся цифры 6 и 7.
3. В четвёртой строке слева пишется 13, а справа — 16.

По этому же принципу цифрами заполняются оставшиеся клетки. Числа проставляются слева в порядке уменьшения. Если всё сделано верно, сумма всех чисел в любой строчке будет одинаковой.

В абстрактной алгебре и теории чисел

Функция квадрата определяется в любом поле или кольце . Элемент в изображении этой функции называется квадратом , а прообразы квадрата — квадратными корнями .

Понятие возведения в квадрат особенно важно в конечных полях Z / p Z, образованных числами по модулю нечетного простого числа p. Ненулевой элемент этого поля называется квадратичным вычетом, если он является квадратом в Z / p Z , в противном случае он называется квадратичным невычетом

Ноль, будучи квадратом, не считается квадратичным остатком. Каждое конечное поле этого типа имеет ровно ( p — 1) / 2 квадратичных вычетов и ровно ( p — 1) / 2 квадратичных невычетов. Квадратичные вычеты образуют группу при умножении. Свойства квадратичных вычетов широко используются в теории чисел .

В более общем смысле, в кольцах функция квадрата может иметь разные свойства, которые иногда используются для классификации колец.

Ноль может быть квадратом некоторых ненулевых элементов. Коммутативное кольцо не таким образом, что квадрат ненулевого элемента никогда не равна нулю, называется приведенное кольцо . В более общем смысле, в коммутативном кольце радикальный идеал — это идеал  I , из которого следует . Оба понятия важны в алгебраической геометрии из-за Nullstellensatz Гильберта .
Икс2∈я{\ displaystyle x ^ {2} \ in I}Икс∈я{\ displaystyle x \ in I}

Элемент кольца, равный его собственному квадрату, называется идемпотентом . В любом кольце 0 и 1 — идемпотенты.Других идемпотентов в полях и вообще в целостных областях нет . Однако кольцо целых чисел по модулю  n имеет 2 k идемпотентов, где k — количество различных простых делителей числа  n . Коммутативное кольцо, в котором каждый элемент равен своему квадрату (каждый элемент идемпотентен), называется булевым кольцом ; Примером из информатики является кольцо, элементы которого являются двоичными числами , с побитовым И в качестве операции умножения и поразрядным исключающим ИЛИ в качестве операции сложения.

В упорядоченном кольце , х 2 ≥ 0 для любых х . Более того, x 2 = 0  тогда и только тогда, когда  x = 0 .

В суперкоммутативной алгебре, где 2 обратимо, квадрат любого нечетного элемента равен нулю.

Если A — коммутативная полугруппа , то

∀Икс,у∈А(Иксу)2знак равноИксуИксузнак равноИксИксуузнак равноИкс2у2.{\ displaystyle \ forall x, y \ in A \ quad (xy) ^ {2} = xyxy = xxyy = x ^ {2} y ^ {2}.}

На языке квадратичных форм это равенство означает, что функция квадрата — это «форма, допускающая композицию». Фактически, функция квадрата — это основа, на которой строятся другие квадратичные формы, которые также допускают композицию. Процедура была введена Л. Е. Диксоном для получения октонионов из кватернионов путем удвоения. Метод удвоения был формализован А. А. Альбертом, который начал с поля действительных чисел ℝ и функции квадрата, удвоив его, чтобы получить поле комплексных чисел с квадратичной формой x 2 + y 2 , а затем снова удвоить, чтобы получить кватернионы. Процедура удвоения называется конструкцией Кэли – Диксона и была обобщена для формирования алгебр размерности 2 n над полем F с инволюцией.

Квадратная функция z 2 является «нормой» композиционной алгебры ℂ, где тождественная функция образует тривиальную инволюцию, с которой начинается построение Кэли – Диксона, приводящее к композиционным алгебрам бикомплексов, бикватернионов и биоктонионов.

Таблица квадратов натуральных чисел 200 до 300

2012 = 40 401 2022 = 40 804 2032 = 41 209 2042 = 41 616 2052 = 42 025 2062 = 42 436 2072 = 42 849 2082 = 43 264 2092 = 43 681 2102 = 44 100	2112 = 44 521 2122 = 44 944 2132 = 45 369 2142 = 45 796 2152 = 46 225 2162 = 46 656 2172 = 47 089 2182 = 47 524 2192 = 47 961 2202 = 48 400	2212 = 48 841 2222 = 49 284 2232 = 49 729 2242 = 50 176 2252 = 50 625 2262 = 51 076 2272 = 51 529 2282 = 51 984 2292 = 52 441 2302 = 52 900	2312 = 53 361 2322 = 53 824 2332 = 54 289 2342 = 54 756 2352 = 55 225 2362 = 55 696 2372 = 56 169 2382 = 56 644 2392 = 57 121 2402 = 57 600	2412 = 58 081 2422 = 58 564 2432 = 59 049 2442 = 59 536 2452 = 60 025 2462 = 60 516 2472 = 61 009 2482 = 61 504 2492 = 62 001 2502 = 62 500
2512 = 63 001 2522 = 63 504 2532 = 64 009 2542 = 64 516 2552 = 65 025 2562 = 65 536 2572 = 66 049 2582 = 66 564 2592 = 67 081 2602 = 67 600	2612 = 68 121 2622 = 68 644 2632 = 69 169 2642 = 69 696 2652 = 70 225 2662 = 70 756 2672 = 71 289 2682 = 71 824 2692 = 72 361 2702 = 72 900	2712 = 73 441 2722 = 73 984 2732 = 74 529 2742 = 75 076 2752 = 75 625 2762 = 76 176 2772 = 76 729 2782 = 77 284 2792 = 77 841 2802 = 78 400	2812 = 78 961 2822 = 79 524 2832 = 80 089 2842 = 80 656 2852 = 81 225 2862 = 81 796 2872 = 82 369 2882 = 82 944 2892 = 83 521 2902 = 84 100	2912 = 84 681 2922 = 85 264 2932 = 85 849 2942 = 86 436 2952 = 87 025 2962 = 87 616 2972 = 88 209 2982 = 88 804 2992 = 89 401 3002 = 90 000

История и современное применение

Первые подобные таблицы использовались ещё в Древней Греции и Китае. Это подтверждено археологическими находками. Арабы называли квадраты магическими, так как верили, что они обладают волшебными свойствами и могут защитить от многих напастей.

В середине XVI в. вопросом о том, как работает магический квадрат, заинтересовались математики в Европе. Они начали активно исследовать загадочные сочетания цифр. Учёные стремились вывести общие принципы построения квадратов и найти всё множество возможных вариантов.

С их помощью школьники учатся планировать свою работу и контролировать её. В клетки можно вписывать не только отдельные цифры, но и математические выражения. Задачи на эту тему часто предлагаются на математических олимпиадах. Решать такие числовые задачи можно и онлайн.

Одинарная чётность

Магические квадраты могут иметь порядок одинарной или двойной чётности. Для каждого случая предусмотрена отдельная методика вычисления. У таблиц одинарной чётности количество клеток в одной строке или столбце делится пополам, но не делится на четыре. Наименьшим квадратом, отвечающим этому требованию, будет прямоугольник 6х6. Фигуру 2х2 построить и заполнить невозможно.

Вычисление магической константы

Первый этап расчётов проводится по формуле / 2, где символом n обозначено число клеток в одном ряду. Если взять за пример квадрат 6х6, расчёт будет выглядеть следующим образом: : 2 = (6 х 37): 2 = 222:2.

Волшебная постоянная прямоугольника со стороной 6 клеток равна 111. Общая сумма чисел от 1 до 36 в каждой строке и в разных направлениях должна быть равна 111.

Рисунок делится на 4 одинаковые части. В каждой будет по 9 клеток (3х3). Каждую часть обозначают латинскими буквами: А — верхняя левая, С — верхняя правая, D — нижняя левая и В — нижняя правая часть. Если квадрат имеет другой размер, n делится на 2, чтобы узнать точную величину каждой из 4 частей.

Дальнейшие действия

Следующий шаг — вписывание в каждую часть ¼ всех чисел. В квадрант А вносятся числа от 1 до 9, в квадрант В — от 10 до 18, в части С — от 19 до 27, в D — от 28 до 36.

Последовательность вписывания такая же, как при заполнении простейшего нечётного квадрата:

1. Минимальное число, которым начинается заполнение ячеек, всегда ставится в верхнем ряду посередине. У каждой части эта ячейка находится отдельно.
2. Каждая часть заполняется как новый математический объект. Даже если есть пустое место в другом квадрате, его в этих случаях игнорируют.

Алгоритм действий:

1. Начинать нужно с крайней левой клетки в верхней строке. Если фигура имеет размеры 6х6, выделяется только первая верхняя строка части А. В ней должно быть вписано число 8. Если величина таблицы составляет 10х10, выделяют 2 первые клетки в верхнем ряду. В них стоят 17 и 24.
2. Из выделенных клеток формируется промежуточный квадрат. В таблице с количеством строк и столбцов 6х6 он будет состоять из 1 клетки. Его условно обозначают А1.
3. Если размер 10х10, в верхней строке выделяется 2 первые ячейки. Вместе с ними выделяется ещё 2 клетки, во второй строке получается поле из 4 прилежащих друг к другу ячеек.
4. В следующей строке первая ячейка пропускается, затем выделяется столько клеток, сколько было в промежуточной таблице А1. Полученную фигуру можно обозначить А2.
5. Таким же способом строят промежуточный квадрат А3.
6. Эти 3 промежуточных фигуры формируют выделенную область А.
7. Далее переходят в квадрант D и формируют обособленную область D.

Квадрат нечётного порядка

Среди несложных магических квадратов по математике выделяют разновидности чётного и нечётного порядка. Первая группа подразделяется на таблицы одинарной и двойной чётности.

Начальным шагом во всех случаях будет определение магической константы. Делается это с помощью специальной формулы / 2. Разобраться с принципом решения задачи этого класса можно на самом простом примере. Для этого выстраивается таблица из 9 ячеек. В неё нужно расставить цифры от 1 до 9. Дальнейший алгоритм:

1. Подсчитывается сумма, которая должна получиться в каждой строке. Для этого используется формула: 3 * (32 +1) / 2 = 3 * 10 / 2. Ответом будет число 15.
2. Числа в ячейках расставляются так, чтобы сумма их была равна 15 в каждой строчке. Это требует смекалки и воображения.
3. В средней клетке верхней строки вписывается 1.
4. Каждое следующее число ставится справа по диагонали вверх. Поставить цифру 2 нельзя, так как выше нет строк. Если мысленно добавить сверху ещё один квадрат, цифра 2 окажется в его нижнем правом углу. Значит, цифра 2 вписывается в нижнюю правую клетку.
5. По тому же принципу вписывается цифра 3. Она попадает в среднюю ячейку слева.
6. Если нужная клетка уже занята, очередной символ вписывается ниже предыдущего. Таким образом, 4 ставится под 3.
7. Записывается цифра 5 по диагонали вправо и вверх, а 6 в верхний угол справа.
8. Поскольку место цифры 7 уже занято, она вписывается ниже 6.
9. Восьмёрка занимает место в левом нижнем углу.
10. Оставшуюся клетку занимает девятка.

Общий алгоритм выполнения задания: каждый следующий знак пишется вверх и правее. Если там нет клетки — дорисовывается ещё один воображаемый квадрат. Если ячейка занята — число записывается ниже предыдущего. Таким способом можно составить любой квадрат нечётного порядка, включая самые сложные, с больши́м числом ячеек.