Конус. формули, ознаки та властивості конуса

Габариты и элементы конуса Морзе

Отличительной чертой одного конуса Морзе от другого являются размеры. Существуют несколько их видов и в соответствии с ГОСТом каждый имеет определенный номер и аббревиатуру. Чтобы измерить его, необходимо воспользоваться калибровкой, а лучше всего специальной таблицей, которая позволит рассчитать размеры до микрона. В зависимости от станка, на котором будет проводиться обработка детали, следует выбирать например резец, сверло, а затем вид изобретения Стивена Морзе.

С развитием машиностроительной отрасли возникла потребность в расширении модельного ряда конусов Морзе. Для этого был разработан метрический конус, который не имел особых конструктивных отличий от своего предшественника. Его конусность равнялась 1:20, при этом угол 2°51’51″, а уклон 1°25’56″. Метрические конусы позволили создать большой выбор инструмента для различных станков и операций. Классифицируются они на две категории: большие и малые. Большие обозначаются, например № 120, 200, и цифры соответствуют наибольшему диаметру метрического конуса.

Размеры конуса Морзе

Инструментальный конус представляет собой конический хвостовик какого-нибудь режущего инструмента и коническое отверстие в шпинделе или бабке такого же диаметра. Его функция заключается в быстрой смене режущего инструмента и сохранении высокой точности при центрировании и закреплении.

Применяется в основном в станках с ЧПУ, потому что устраняет ряд недостатков обычного конуса Морзе.

Преимущества:

• заклинивание хвостовиков в шпинделе гораздо меньше;
• меньшие размеры;
• улучшенный упор по оси;
• простота закрепления;
• автоматическая смена режущего инструмента.

В наши дни конусы Морзе изготавливают в соответствие с международным стандартом ISO и DIN. В России система стандартизации объединяет в один класс как просто конусы Морзе, так и метрические и инструментальные. Информацию о них можно получить в ГОСТ 25557-82. Ситуация с единым ГОСТом сложилась из-за того, что конусы Морзе со времен СССР пользуются в нашем государстве большой популярностью, а параллельно с этим появилось много новых.

Конусы Морзе распределены по 8 категориям. За рубежом это МТ0, МТ1, МТ2, МТ3, МТ4, МТ5, МТ6, МТ7. В Германии такая же нумерация, но буквенное обозначение МК. В нашей стране и на постсоветском пространстве КМ0, КМ1, КМ2, КМ3, КМ4, КМ5, КМ6 и №80.

Укороченный конус

Как показало время, некоторые конусы Морзе зарубежного производства неудобны в эксплуатации по причине большой длины. На этот случай был разработан ряд укороченных изделий, имеющий 9 размеров.

Схемы способов обработки конических поверхностей

Способы обработки конических поверхностей внутреннего характера заключаются в резцовом растачивании детали с использованием конусной линейки, а также оборачивании верхней части суппортов.

Внешние конусы обрабатывают:

• вращением суппортов;
• смещением точек задней бабки;
• широкими резцами;
• конусной линейкой.

Полости конусообразных изделий создаются путем зенкерования и развертки. Данные методики дают возможность получить отверстия диаметрами высокой точности. С целью формирования дыр в сплошном металле используют сверла малого диаметра для нанесения разметки. После чего применяют зенкер или сверлильную ступенчатую установку.

Вращение верхнего суппорта 1 под заданным углом способствует подаче ручного и механического резца. Этот процесс осуществляется на токарных станках классического и автоматизированного типа. Повороты суппортов имеют угол α корпусного наклона, цифровое значение которого можно увидеть на фланцевой шкале 2.

Конические изделия большой длины отделывают путем смещения корпуса задней бабки. В этой процедуре резец двигается диаметрально по вертящейся заготовке с применением механического воздействия.

При данном точении угол наклона α конического изделия совпадает с наклонением резцового инструмента. Требуемое цифровое значение уклона достигается путем перемещения заднего пункта в противоположное направление.

Способы обработки конических поверхностей широкими режущими инструментами токарного оснащения основаны на движении кромок вдоль и поперек диаметра детали.

Резцовая обработка помогает выпускать крупные партии мелких деталей не более 20 мм диаметром, надежно защищенных от вибрационной деформации. 

Конусные линейки дают возможность обтачивать детали с углом наклона меньше, чем 10-12 градусов. Линейки закрепляются на станковом оборудовании. Для поступательного скользящего движения ползуна на начале точения выкручивают винт и отводят верхний суппорт от каретки снизу.

Отделка конуса с использованием станковой линейки осуществляется в специальной последовательности, отраженной на рисунке.

Плитка 11 зафиксирована к корпусу станка, оснащена конусной линейкой 9. Последняя может быть повернута под требуемым кругом пальца 8 по оси отделываемой конической детали.

Болты 4 и 10 необходимы с целью крепежа линейки. Ползун, обозначенный 7, скользящим движением объединяется с нижней суппортной салазкой 12 благодаря наличию зажима 6 и механизму тяготения 5. Низ суппорта отделяют от кареты 3 путем выкручивания гайки или поперечного болта.

Движения ползуна обуславливают возможность резцовой обработки внешней и внутренней поверхности конусообразной детали с углом уклона, равным значению α поворотов линейки.

С целью определить правильность отделки поверхности конусной детали и исключения брака наносят меловые линии по длине образующей.

После на изделие надевают калибр и поворачивают на половину оборота. Если нанесенные линии стерлись прерывчато, конусное изделие возвращают на исправление.

Определение диаметра через объем и высоту

Теперь покажем, как найти диаметр конуса, зная его объем V и высоту h. Для этого необходимо вспомнить, что объем конуса, как и объем любой пирамиды, можно определить, пользуясь следующим равенством:

Здесь S — площадь основания. Поскольку площадь основания в рассматриваемом случае является площадью круга, то это выражение можно переписать в таком виде:

Остается выразить отсюда радиус и умножить его в два раза, и мы получим ответ на вопрос о том, как найти диаметр конуса через величины V и h. Имеем:

Заметим, что в правой части получается размерность длины. Это доказывает правильность полученной формулы.

Все записанные в статье формулы для диаметра d фигуры также являются справедливыми для радиуса, который будет в два раза меньше диаметра.

Связанные определения для конуса

Образующая конуса. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.

Образующая поверхность конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса.

Коническая поверхность. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.

Высота конуса (H). Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.

Угол раствора конуса. Угол раствора конуса – угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).

Прямой конус. Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.

Косой (наклонный) конус. Косой (наклонный) конус – конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.

Круговой конус. Круговой конус – конус, основание которого является кругом.

Прямой круговой конус. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).

Эллиптическим конус. Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).

Усечённый конус. Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

Угол конуса

Важным показателем при построении различных чертежей считается угол конуса. Он определяется соотношение большого диаметра к меньшему. Высчитывается этот показатель по следующим причинам:

1. На момент обработки мастер должен учитывать этот показатель, так как он позволяет получить требуемое изделие с высокой точностью размеров. В большинстве случаев обработка проводится именно при учете угла, а не показателей большого и малого диаметра.
2. Угол конуса рассчитывается на момент разработки проекта. Этот показатель наносится на чертеж или отображается в специальной таблице, которая содержит всю необходимую информацию. Оператор станка или мастер не проводит расчеты на месте производства, вся информация должна быть указана в разработанной технологической карте.
3. Проверка качества изделия зачастую проводится по малому и большему основанию, но также могут применяться инструменты, по которым определяется показатель конусности.

Как ранее было отмечено, в машиностроительной области показатель стандартизирован. В другой области значение может существенно отличаться от установленных стандартов. Некоторые изделия характеризуются ступенчатым расположение поверхностей. В этом случае провести расчеты достаточно сложно, так как есть промежуточный диаметр.

Образующая в наклонном конусе

Исходя из того, что в косом, или наклонном конусе образующие имеют не одинаковую длину, рассчитать их без дополнительных построений и вычислений не получится.

Прежде всего необходимо знать высоту, длину оси и радиус основания.

Имея эти данные, можно рассчитать часть радиуса, лежащую между осью и высотой, по формуле из теоремы Пифагора:

r1= √k2 — h2

где r1 – это часть радиуса между осью и высотой;

k – длина оси;

h – высота.

В результате сложения радиуса (r) и его части, лежащей между осью и высотой (r1), можно узнать полную сторону прямоугольного треугольника, сформированного образующей конуса, его высотой и частью диаметра:

R = r + r1

где R – катет треугольника, образованного высотой, образующей и частью диаметра основания;

r – радиус основания;

r1 – часть радиуса между осью и высотой.

Пользуясь все той же формулой из теоремы Пифагора, можно найти длину образующей конуса:

l = √h2+ R2

или, не производя отдельно расчет R, объединить две формулы в одну:

l = √h2 + (r + r1)2.

Несмотря на то, прямой или косой конус и какие вводные данные, все способы нахождения длины образующей всегда сводятся к одному итогу — использованию теоремы Пифагора.

Угол конуса

Важным показателем при построении различных чертежей считается угол конуса. Он определяется соотношение большого диаметра к меньшему. Высчитывается этот показатель по следующим причинам:

1. На момент обработки мастер должен учитывать этот показатель, так как он позволяет получить требуемое изделие с высокой точностью размеров. В большинстве случаев обработка проводится именно при учете угла, а не показателей большого и малого диаметра.
2. Угол конуса рассчитывается на момент разработки проекта. Этот показатель наносится на чертеж или отображается в специальной таблице, которая содержит всю необходимую информацию. Оператор станка или мастер не проводит расчеты на месте производства, вся информация должна быть указана в разработанной технологической карте.
3. Проверка качества изделия зачастую проводится по малому и большему основанию, но также могут применяться инструменты, по которым определяется показатель конусности.

Как ранее было отмечено, в машиностроительной области показатель стандартизирован. В другой области значение может существенно отличаться от установленных стандартов. Некоторые изделия характеризуются ступенчатым расположение поверхностей. В этом случае провести расчеты достаточно сложно, так как есть промежуточный диаметр.

Усеченный геометрический объект

Усеченная фигура представляет собой объект в пространстве, который состоит из двух оснований разной площади и конической боковой поверхности. В отличие от исходного конуса, его усеченный вариант не имеет вершины. Остальные линейные элементы для него такие же, как для конуса с вершиной. У усеченной фигуры также имеется две директрисы, ограничивающие каждое из оснований, и одна генератриса, которая опирается на линии направляющих кривых.

Рассматриваемый геометрический объект также бывает нескольких видов (эллиптический, наклонный). Чаще всего в задачах по геометрии встречается именно круглый прямой усеченный конус, который ограничен двумя круглыми основаниями.

Способы построения

Можно выделить два основных способа построения усеченного круглого геометрического объекта:

• из круглого прямого конуса;
• с помощью трапеции.

В первом случае необходимо взять коническую фигуру и режущую плоскость, которая будет параллельна основанию. После этого с помощью плоскости следует отсечь верхнюю часть конуса. Оставшаяся под плоскостью фигура будет усеченной

Следует отметить, что совершенно неважно, какая часть конуса с вершиной будет отсечена. Чем больше она будет, тем ближе окажутся друг к другу значения верхнего и нижнего радиусов в усеченной фигуре, то есть тем ближе она по форме будет походить на прямой цилиндр.

Если прямоугольную трапецию поставить на большее основание и вращать ее вокруг перпендикуляра h, то получится усеченный конус. В нем отрезки a и b будут радиусами оснований объемной фигуры, перпендикуляр h станет высотой, а наклонный отрезок g будет представлять собой длину образующей. Эти четыре линейных характеристики определяют рассматриваемую объемную фигуру. Следует заметить, что для однозначного построения фигуры достаточно лишь трех любых из них, например, высоты и двух радиусов.

Площадь поверхности

Поверхность усеченной фигуры, в отличие от полного конуса, образована тремя частями: два круглых основания и боковая поверхность. Площади круглых оснований вычисляются по известной формуле для круга: pi*r2. Для боковой поверхности следует выполнить следующие действия:

Разрезать ее вдоль образующей и развернуть на плоскости.
Обратить внимание, что полученная фигура представляет собой сектор круга, у которого в верхней его части вырезан другой маленький сектор.
Достроить мысленно усеченную фигуру до полного конуса и определить его высоту H и директрису G. Через соответствующие параметры усеченного конуса они будут выражаться следующим образом: G = r1*g/(r1-r2), H = h*r1/(r1-r2), здесь радиусы оснований r1 и r2 такие, что r1>r2.
Рассчитать площади большого и маленького круговых секторов, а затем вычесть из первой вторую

В итоге получится следующая простая формула: Sb = pi*g*(r1 + r2).

Площадь всей поверхности рассматриваемой фигуры вычисляется как сумма трех величин S1, S2 и Sb:

S = S1 + S2 + Sb = pi*r12 + pi*r22 + pi*g*(r1 + r2).

Для определения величины S необходимо знать три линейных параметра усеченного конуса: радиусы оснований и длину генератрисы.

Формула объема

Для определения объема следует воспользоваться приемами, подобными тем, которые описаны в методике определения площади поверхности. Для начала следует усеченный конус достроить до полного, затем вычислить объемы фигур с высотами H и H-h по уже известной формуле. Разница этих объемов даст искомую формулу для усеченной фигуры с круглыми основаниями:

V = 1/3*pi*r12*H — 1/3*pi*r22*(H-h).

Подставляя в это выражение равенство для высоты H через линейные характеристики усеченной фигуры, можно получить конечную формулу:

V = 1/3*pi*h*(r12 + r22 + r1*r2).

Это выражение можно переписать не через линейные параметры, а через площади оснований фигуры S1 и S2:

V = 1/3*h*(S1 + S2 + (S1*S2)^0,5).

Записанная формула объема может быть получена универсальным способом без привлечения известного выражения для полного конуса. Для этого необходимо использовать интегральное исчисление, разбивая при этом усеченный геометрический объект на бесконечное количество тонких круглых дисков. Их радиусы будут постепенно уменьшаться от r1 до r2. Этот метод вывода формулы для объема не отличается от аналогичного для полного круглого конуса, изменяются лишь пределы интегрирования.

Исходный полный конус

Прежде чем говорить об усеченном объекте и его характеристиках, следует рассмотреть исходную фигуру, из которой он получается.

Пусть имеется некоторая замкнутая кривая, лежащая в произвольной плоскости. Это может быть окружность, эллипс или любая другая линия с плавными перегибами. Пусть также существует отрезок, который не лежит в плоскости указанной замкнутой кривой. Если в пространстве зафиксировать некоторую точку, а затем соединить ее с любой точкой на кривой, то получится образующая будущего конуса. Если теперь ее перемещать вдоль замкнутой кривой одним своим концом, в то время как другой конец будет зафиксированным в точке, то она опишет коническую поверхность.

Это геометрическое построение позволяет получить объемную фигуру конус, которая состоит из следующих элементов:

1. Вершина — зафиксированная точка в пространстве, которая не лежит в плоскости замкнутой кривой.
2. Коническая поверхность, образованная в результате перемещения отрезка — образующей, или генератрисы.
3. Основание — часть плоскости, ограниченная исходной замкнутой кривой. Последняя является направляющей, или директрисой, для образующей.

Существующие виды

В геометрии известны несколько видов конуса. Каждый из них определяется характером директрисы и расположением относительно нее генератрисы. Выделяют следующие виды фигуры:

1. Круглый прямой. В его основании лежит круг, а высота (длина перпендикуляра, опущенного из вершины) соединяет центр окружности и вершину.
2. Эллиптический прямой. В его основании находится эллипс, а проекция вершины попадает точно в центр основания.
3. Наклонный произвольного вида. Высота в этом конусе всегда меньше, чем длина отрезка, соединяющего вершину и геометрический центр основания.

Круглая прямая фигура

Получить этот конус несложно. Необходимо взять прямоугольный треугольник, поставить его на один из катетов и вращать вокруг второго катета, который будет являться осью, а его длина — высотой для объемной фигуры. Катет, на котором стоит треугольник, является радиусом круглого основания конуса.

С полученной фигурой легко работать при решении геометрических задач, поскольку для нее существуют довольно простые формулы для площади поверхности и объема.

Площадь S фигуры состоит из двух частей: основания и боковой поверхности. С помощью простых геометрических рассуждений можно показать, что сумма этих частей выражается в виде такой формулы: S = pi*r2 + pi*g*r, где число pi=3,14, r — радиус окружности в основании, g — длина генератрисы. В разрезе на плоскости коническая поверхность представляет собой сектор круга радиусом g.

Конус 7:24

Широко распространённый инструментальный конус, в основном, для станков с ЧПУ с автоматической сменой инструмента. Цель разработки — устранение недостатков конуса Морзе (самозаклинивание конуса в шпинделе, малая площадь осевого упора, большая длина, сложность автоматической фиксации конуса в шпинделе, отсутствие зацепов для автоматической смены инструмента).

Существует ряд национальных и международных стандартов на этот конус, отличающихся базовой размерностью (дюймовая или метрическая), вспомогательными элементами (фланцы, штревели, каналы подачи СОЖ) и обозначениями. Конуса, изготовленные по разным стандартам, не всегда взаимозаменяемы.

• ISO -конусы. Международные стандарты ISO 297:1988 (конструктивная разновидность для ручной смены инструмента), ISO 7388 (конструктивные разновидности для автоматизированной смены инструмента).
• Новые российские стандарты: ГОСТ 25827-2014 — конструкции конусов, фланцев и резьб хвостовиков. Парный к нему ГОСТ ИСО 7388-3-2014 — конструкции штревелей. Практически дубликат ISO 297 и ISO 7388.
• Все еще могут быть актуальны советские и старые российские стандарты: ГОСТ 15945-82 — основные размеры конусов и парный к нему ГОСТ 19860-93 — допуски.
• ГОСТ 25827-93 — конструкции конусов, фланцев и хвостовиков.

DV ,SK (от нем. Steilkegel). Немецкий вариант конуса. Стандарты DIN 2080, DIN 69871.

NMTB (от англ. National Machine Tool Builders Association),NST ,NT . Американский вариант конуса. Стандарт ANSI B5.18. Дюймовая размерность, конструктивно аналог ISO 297.

CAT ,CV (от англ. Caterpillar V-Flange). Американский вариант конуса. Стандарт ANSI B5.50. Дюймовая размерность, конструктивно аналог ISO 7388 вариант A.

BT — японская разновидность конуса согласно стандарта JIS B6339 (JMTBA MAS-403 «BT»). Дюймовая размерность, конструктивно аналог ISO 7388 вариант J.

NFE 62540 — французский стандарт.

IS 2340 ,IS 11173 — индийские стандарты. Первый аналог ISO 297, второй ISO 7388.

Типоразмер конуса обозначается цифрой, существуют размеры от 10-го до 80-го с шагом 5. Например, ISO10, NMTB40, BT50. Для всех стандартов размер конусной части одинаков. Угол конуса 16°35’40″. В таблице размеров конусов D

обозначает базовый размер — наибольший диаметр конусного отверстия (гнезда),L обозначает глубину конусного отверстия. Эти значения также примерно соответствуют наибольшему диаметру конуса и его длине. Диаметр фланцаDF примерно одинаков у всех конструктивных разновидностей. Конус с фланцем для автоматической смены инструмента

Конус	D	L	Резьба	DF
10	15,87	21,8
15	19,05	26,9
25	25,40	39,8
30	31,75	49,2	M12	50
35	38,10	57,2
40	44,45	65,6	M16	63
45	57,15	84,8	M20	80
50	69,85	103,7	M24	97
55	88,90	132,0	M24	130
60	107,95	163,7	M30	156
65	133,35	200,0	M36	195
70	165,10	247,5	M36	230
75	203,20	305,8	M40	280
80	254,00	390,8	M40	350

Стандарты ISO и новый российский ГОСТ определяют несколько конструктивных разновидностей: одну для ручной смены инструмента и три разновидности для автоматической смены инструмента, обозначаемые буквами A

,U ,J . Каждой конструктивной разновидности соответствует свой фланец и штревель. Помимо того, стандарты регламентируют два метода подвода охлаждающей жидкости к инструменту: центральный через штревель (обозначается буквойD ) или боковой через фланец (буквойF ).

Старый ГОСТ 25827-93 определял три исполнения конусов. Исполнение 1 было аналогично ISO 297. Исполнение 2 было аналогично ISO 7388 вариант A. Исполнение 3 аналогов не имело. Стандарт не определял конструкций штревелей, только фланцев и резьб хвостовиков.

В настоящее время конуса обычно изготавливают со сменными штревелями, что улучшает совместимость оборудования разных стандартов.

Несоответствия между американской и российской метрической системами

В настоящее время пролювий с американской гравировкой КМ7 не соответствует российским стандартам. В России долгое время используют  метрический штекель с конусом №80. Иногда оказывается, что использовать американский конус использовать неудобно – его длина не соответствует стандартам станка.

По этой причине пришлось удалить его толстую часть, и в настоящее время имеется девять размеров с более укороченным креплением. Хвостовая часть конуса Морзе за №80 может изготавливаться с различными вариациями. Но принцип их использования остается на высоком уровне и не требует особой спецподготовки.

КМ – это горнитос Морзе, который спроектирован компанией Кеннаметал. И в настоящее время является одним из наиболее часто используемых креплений инструмента. Такое положение дел является следствием длительного периода использования именно данного пролювия, ибо диапазон размеров в высшей степени зависит от того, насколько эффективно используется инструмент.

Очевидно одно: конус Морзе является сегодня наиболее часто используемым креплением для самых разных составляющих.

Развертка усеченного конуса

Описываемый ниже способ построения развертки прямого кругового усеченного конуса основан на принципе подобия.

Алгоритм

1. Строим вспомогательный конус ε, подобный конусу ω, как это показано на рисунке выше. Для удобства построения величину диаметра d выбираем таким образом, чтобы соотношение t=D/d выражалось целым числом. В рассматриваемом примере t=2.
2. боковой поверхности конуса ε – SA12345A и на биссектрисе угла ASA отмечаем точку O, выбрав ее расположение произвольно.
3. Проводим прямые OA, O1, O2, O3, O4, O5, OA и на них откладываем отрезки [OA₁₀]=t×|OA|, [O1₁₀]= t×|O1|, [O2₁₀]=t×|O2|, [O3₁₀]=t×|O3|, [O4₁₀]=t×|O4|, [O5₁₀]=t×|O5|, [OA₁₀]=t×|OA| соответственно, где t=D/d. Соединяем точки A₁₀, 1₁₀, 2₁₀, 3₁₀, 4₁₀, 5₁₀, A₁₀ плавной линией.
4. Из точек A₁₀, 1₁₀, 2₁₀, 3₁₀, 4₁₀, 5₁₀, A₁₀ проводим лучи, которые параллельны соответственно прямым AS, 1S, 2S, 3S, 4S, 5S, AS, и на них откладываем отрезки A₁₀B₁₀, 1₁₀1₂₀, 2₁₀2₂₀, 3₁₀3₂₀, 4₁₀4₂₀, 5₁₀5₂₀, A₁₀B₁₀, равные l – образующей усеченного конуса. Проводим линию B₁₀1₂₀2₂₀3₂₀4₂₀5₂₀B₁₀.